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By Jean-Jacques Risler

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Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction

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Dans ce cas, N est un idéal de A, donc engendré par un élément a puisque A est supposé principal. On a alors N = aA et la multiplication par a donne un isomorphisme A Aa. b) Passage de n−1 à n. Soit π1 le morphisme N −→ A défini par π 1 (a1 , . . , an ) = a1 (restriction à N de la première projection A n → A). L’ensemble π1 (N ) est alors un sous-module de A, donc un idéal engendré par un élément b 1 . On suppose b1 = 0, sinon N est contenu dans le sous-module engendré par (e 2 , . . , en ) ((e1 , .

Soit L un A-module libre ayant une base (f 1 , . . , fn ). 1. Le morphisme φ : L → An défini par φ(fi ) = ei est un isomorphisme. 2. L’entier n ne dépend pas de la base choisie. On l’appelle le rang de L. Démonstration. Le fait que le morphisme φ soit défini par ses valeurs aux éléments fi vient de la définition d’une base. Le fait que ce soit un isomorphisme est évident (considérer le morphisme inverse ψ défini par ψ(e i ) = fi ). , il faut montrer que si l’on a un isomorphisme φ : A n → Am , alors n = m.

8). 2 POLYNÔME MINIMAL Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K . Nous noterons A l’anneau K[X]. 2 Polynôme minimal 51 P (u) = a0 I +a1 u+· · ·+ap up (I est l’identité et up est l’endomorphisme u◦u◦· · ·◦u p fois). x = P (u)(x) (image de x par l’endomorphisme P (u)). Il est immédiat que ces opérations satisfont les axiomes des modules. La multiplication par les constantes ai est définie par la structure d’espace vectoriel de E . Il s’en suit que la structure de module de E prolonge celle d’espace vectoriel : si a 0 = 0 ∈ K , la multiplication par a0 d’un élément de E (définie car E est un espace vectoriel) est la même si on considère E comme un A-module et a 0 comme un polynôme de degré 0.

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